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By Tomas Guardia

ISBN-10: 9801116080

ISBN-13: 9789801116080

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Acci´on de grupo de rotaciones) Las rotaciones del grupo ortog- Invariantes 51 onal O(2) act´ uan en R2 de forma usual ya que ( )( )( ) cos φ − sin φ cos θ − sin θ x Rφ (Rθ (x))) = ( sin φ cos φ ) ( sin θ cos θ ) y cos φ − sin φ x cos θ − y sin θ = sin φ cos φ x sin θ + y cos θ ( ) cos φ(x cos θ − y sin θ) − sin φ(x sin θ + y cos θ) = ( sin φ(x cos θ − y sin θ) cos φ(x sin θ + y cos θ) ) x cos φ cos θ − y cos φ sin θ − x sin φ sin θ − y sin φ cos θ = (x sin φ cos θ − y sin φ sin θ + x cos φ sin θ + y cos φ cos θ) x(cos φ cos θ − sin φ sin θ) − y(sin φ cos θ + cos φ sin θ) = (x(sin φ cos θ + cos φ sin θ) +)y(cos φ cos θ − sin φ sin θ) x cos(φ + θ) − y sin(φ + θ) = (x sin(φ + θ) + y cos(φ + θ) )( ) cos(φ + θ) − sin(φ + θ) x = sin(φ + θ) cos(φ + θ) y = Rφ+θ (x) Por otra parte ( cos 0 − sin 0 R0 (x) = )0 ( sin 0) (cos x 1 0 = y (0 ) 1 x = y =x )( ) x y En general la acci´on de un grupo es, el efecto que resulta de la operaci´ on o aplicaci´on de cada uno de los elementos del grupo sobre un conjunto.

Describimos las isometr´ıas del plano como composiciones de traslaciones, reflexiones y rotaciones y ellas determinaban los invariantes de la geometr´ıa m´etrica Es decir, los movimientos r´ıgidos preservan, la norma, la distancia y el producto escalar en R2 . Ahora bien, nos preguntamos si es posible suavizar estas condiciones y permitir otro tipo de transformaciones que deformen las figuras geom´etricas. La respuesta a esta pregunta la encontramos en la geometr´ıa af´ın que corresponde al estudio de los invariantes bajo transformaciones afines.

Acci´on del grupo de traslaciones). Los elementos de T (2) act´ uan 2 2 sobre R de manera can´onica, en efecto si v1 , v2 ∈ R son vectores fijos del plano entonces Tv2 (Tv1 )(x) = Tv2 (x + v1 ) = (x + v1 ) + v2 = x + (v1 + v2 ) = Tv1 +v2 (x). T0 (x) = (x + 0) = x. 2. (Acci´on de grupo de rotaciones) Las rotaciones del grupo ortog- Invariantes 51 onal O(2) act´ uan en R2 de forma usual ya que ( )( )( ) cos φ − sin φ cos θ − sin θ x Rφ (Rθ (x))) = ( sin φ cos φ ) ( sin θ cos θ ) y cos φ − sin φ x cos θ − y sin θ = sin φ cos φ x sin θ + y cos θ ( ) cos φ(x cos θ − y sin θ) − sin φ(x sin θ + y cos θ) = ( sin φ(x cos θ − y sin θ) cos φ(x sin θ + y cos θ) ) x cos φ cos θ − y cos φ sin θ − x sin φ sin θ − y sin φ cos θ = (x sin φ cos θ − y sin φ sin θ + x cos φ sin θ + y cos φ cos θ) x(cos φ cos θ − sin φ sin θ) − y(sin φ cos θ + cos φ sin θ) = (x(sin φ cos θ + cos φ sin θ) +)y(cos φ cos θ − sin φ sin θ) x cos(φ + θ) − y sin(φ + θ) = (x sin(φ + θ) + y cos(φ + θ) )( ) cos(φ + θ) − sin(φ + θ) x = sin(φ + θ) cos(φ + θ) y = Rφ+θ (x) Por otra parte ( cos 0 − sin 0 R0 (x) = )0 ( sin 0) (cos x 1 0 = y (0 ) 1 x = y =x )( ) x y En general la acci´on de un grupo es, el efecto que resulta de la operaci´ on o aplicaci´on de cada uno de los elementos del grupo sobre un conjunto.

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by William
4.0

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